Question

在等比数列{an}中，an＞0 （n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2．

在等比数列{an}中，an＞0 （n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵{a_n} 为等比数列，∴a1a5＝a32，a2a8＝a52，
∴由题意得a32+2a3a5+a52＝25，
即(a3+a5)2＝25，∴a₃+a₅=±5，
又∵a_n＞0，∴a₃+a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又 与a₅ 的等比中项为2．∴a₃a₅=4，
∴a₃=1，a₅=4 或a₃=4，a₅=1，
又∵q∈（0，1），∴a₃=4，a₅=1，q2＝

1

4

，即q＝

1

2

，
∴a₁=16，
∴an＝a1qn?1＝16(

1

2

)n?1＝(

1

2

)n?5＝25?n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
∵b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n} 是等差数列，则其前n 的和为Sn＝?

1

2

n2+

9

2

n 

又∵当n≤5，n∈N^*时，b_n≥0；
当n＞5，n∈N^*时，b_n＜0，
∴当n≤5，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n 
=Sn＝?

1

2

n2+

9

2

n，
当n＞5，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-b₇-…-b_n 
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n 
=

1

2

n2?

9

2

n+20 
∴T_n=

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