Question

用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分

用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

Answer 1

证法一：假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分，
如图AB，CD为圆O的两条不是直径且互相平分的相交弦，交点为E
∵CE=DE，AE=BE，O为圆心
∴OE⊥CD，OE⊥AB
∴CD∥AB
显然与AB，CD矛盾，故假设不成立．
∴圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
证法二：证明：假设AB，CD能互相平分
连接OE
∵AE=BE
∴OE⊥AB
同理OE⊥CD
因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

Answer 2

1、假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分。

2、证法一：假设圆的两条不是直径的相交弦能互相平分，
如图AB，CD为圆O的两条不是直径且互相平分的相交弦，交点为E。
∵CE=DE，AE=BE，O为圆心
∴OE⊥CD，OE⊥AB
∴CD∥AB
显然与AB，CD矛盾，故假设不成立。
∴圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

3、证法二：证明：假设AB，CD能互相平分。
连接OE。
∵AE=BE
∴OE⊥AB
同理OE⊥CD
因为这与过一点有且有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设错误，所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

Answer 3

假设相交弦互相平分，不妨设交点为A,连接圆心C，根据垂径定理，AC与这两条弦都垂直，则与过一点只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，故原命题成立。

Answer 4

假设ab与cd相互平分，则ae=eb,
ce=ed,连结o、e，

则oe⊥ab，oe⊥cd，则经过点e就有两条线段ab和cd都和oe垂直，这与经过平面内一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴ab与cd不能相互平分。

Answer 5

假设
圆内不是直径的两条弦AB和CD互相平分于E，
则四边形ACBD的对角线互相平分于E，四边形ACBD是平行四边形
又因为
四边形ACBD是圆内接四边形，则角A与角B互补，所以角A与角B都是直角（平行四边形对角相等）
所以AB是直径，与假设矛盾
所以圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。