Question

已知圆锥的高为1，轴截面顶角为120°时，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为（　　）A．3B．23C．2D．

已知圆锥的高为1，轴截面顶角为120°时，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为（　　）A．3B．23C．2D．1

Answer 1

解答：解：如图，过圆锥顶点P认作一截面PAB，交底面圆与AB，过O作AB的垂线OF，垂足为F，交底面圆周与E，
因为圆锥轴截面的顶角为120°，则∠OPE=60°，又圆锥PO的高PO=1，在直角三角形POE中，有OE=tan60°＝

3

，
即圆锥底面半径为3，所以OA=OE=

3

，设OF=x，则AF=

( 3 )2?x2

＝

3?x2

，
在直角三角形POF中，PF=

12+x2

＝

1+x2

，
所以，S△PAB＝

1

2

AB?PF＝AF?PF=

3?x2

?

1+x2

≤

(3?x2)+(1+x2)

2

=2．
当且仅当3-x²=1+x²，即x=1时“=”成立．
所以，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为2．
故选C．