Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此

2a?1＝0 a+b?1＝0

，解得a＝b＝

1

2

．
∴f(x)＝

1

2

x2+

1

2

x．
∵f(x)＝

1

2

(x+

1

2

)2?

1

8

．
∴函数f（x）在区间[?1，?

1

2

]上单调递减，在区间[?

1

2

，3]上单调递增．
∵f（-1）=0，f(?

1

2

)＝?

1

8

，f（3）=6．
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最大、最小值分别为6，?

1

8

．