Question

椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上任意一点，则|PF1||PF2|的取值范围是

焦点位置为(1,0)
所以2-1<=PF1<=2+1, 这是为什么？解释一下

Answer 1

首先，对于“2 - 1 ≤ |PF1| ≤ 2 + 1”的原因如下：
设长轴的左右端点分别为点A和点A‘，则有
|OA| - |OF1| ≤PF1≤ |OA| + |OF1|，而 |OA| = a =2，|OF1| = c = 1 。
所以，可得 2 - 1 ≤ |PF1| ≤ 2 + 1 。
其次，将我的另一种解答提供如下：
解：依题意，可设点P的坐标为(2cosθ，√3sinθ)(其中：0≤θ<2π），则
|PF1| |PF2| = √[(2cosθ + 1)² + (√3sinθ)²] √[(2cosθ - 1)² + (√3sinθ)²]
= √[(cosθ + 2)²(cosθ - 2)²]
= √(cos²θ-4)²
= 4 - cos²θ 。
而由0≤θ<2π，得 0≤cos²θ≤1，得 3 ≤ 4 - cos²θ ≤ 4。
所以，|PF1||PF2|的取值范围是 [3，4] 。