Question

定积分求面积问题 求椭圆Ax^2+2Bxy+Cy^2=1的面积， C>0, AC-B^2>0 基础

定积分求面积问题
求椭圆Ax^2+2Bxy+Cy^2=1的面积，
C>0, AC-B^2>0
基础较差，恳求详细解答，尤其不明白中间的2Bxy是怎么回事，
会求x^2/a^2+y^2/b^2=1这种形式的，但这两种有什么联系吗？
真的非常感谢您的帮助!

Answer 1

可用参数方程：

结果是π/√(AC-B^2)，但过程可会恶心死你的

我就运用Green公式了

追问

抱歉，还没学过格林公式，所以不大能看懂您的思路啊，能说说题目中提到的两种椭圆方程的积分思路有什么区别吗？谢谢了

先采纳了，很感谢您这么仔细的写出了步骤，开始有一点头绪了，多谢。

追答

只用定积分的话方法比较累赘，而且椭圆的面积是比较不规则的
至少要用到二重积分知识才会简单
对于标准方程，x²/a² + y²/b² = 1
y²/b² = 1 - x²/a² = (a² - x²)/a²
y² = b²/a² * (a² - x²)
y = (b/a)√(a² - x²)
标准方程的好处就是四个象限的面积相同，所以只需要找第一象限的面积
A = (1/4)∫(0→a) (b/a)√(a² - x²) dx = πab
若是一般方程，也要解出y = ƒ(x)形式才可以用定积分
而且四个象限的面积也不一样，积分限很难决定，所以可用广义极坐标代换或者参数代换
把方程变为极坐标形式r = r(θ)，然后用∫(α→β) (1/2)[r(θ)]² dθ

追问

看来我得练习一下用极坐标和参数方程求解，老师才讲过，但我还不会用，谢谢您啦

再麻烦您一下，照片中参数方程的t属于0到2pi是跟根据什么求得的?