Question

已知函数 f(x)=lo g a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函

已知函数 f(x)=lo g a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)=lo g a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1）是奇函数． ∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1． （2）由（1）及题设知： f(x)=lo g a x+1 x-1 ， 设 t= x+1 x-1 = x-1+2 x-1 =1+ 2 x-1 ， ∴当x 1 ＞x 2 ＞1时， t 1 - t 2 = 2 x 1 -1 - 2 x 2 -1 = 2( x 2 - x 1 ) ( x 1 -1)( x 2 -1) ∴t 1 ＜t 2 ． 当a＞1时，log a t 1 ＜log a t 2 ，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． ∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数． （3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1）， ∴①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知 lo g a 1+n n-1 =1 a-2=-1 （无解）； ②当1≤n＜a-2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 n=1 lo g a a-1 a-3 =1 得 a=2+ 3 ，n=1．