Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=1bnbn+1，记数

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=1bnbn+1，记数列{cn}的前n项和Tn，若对n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
∴an＝2n．
（2）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)=1?

1

n+1

=

n

n+1

．
∵对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，
∴

n

n+1

≤k(n+4)，化为k≥

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

．
∵n+

4

n

+5≥2

n? 4 n

+5=9，当且仅当n=2时取等号．
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，
∴k≥

1

9

．
∴实数k的取值范围是[

1

9

，+∞)．