Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 M( 3π 4 ，0)

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 M( 3π 4 ，0) 对称，且在区间 [0， π 2 ] 上是单调函数，则ω的值为（　　） A． 1 3 或2 B． 1 3 或 3 2 C． 2 3 或 3 2 D． 2 3 或2

Answer 1

由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+?）=sin（ωx+?）， 所以-cosφsinωx=cosφsinωx， 对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0． 依题设0＜φ＜π，所以解得φ= π 2 ， 由f（x）的图象关于点M对称，得f（ 3π 4 -x）=-f（ 3π 4 +x）， 取x=0，得f（ 3π 4 ）=sin（ 3ωπ 4 + π 2 ）=cos 3ωπ 4 ， ∴f（ 3π 4 ）=sin（ 3ωπ 4 + π 2 ）=cos 3ωπ 4 ，∴cos 3ωπ 4 =0， 又ω＞0，得 3ωπ 4 = π 2 +kπ，k=1，2，3， ∴ω= 2 3 （2k+1），k=0，1，2， 当k=0时，ω= 2 3 ，f（x）=sin（x+ π 2 ）在[0， π 2 ]上是减函数，满足题意； 当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+ π 2 ）在[0， π 2 ]上是减函数； 当k=2时，ω= 10 3 ，f（x）=（ 10 3 x+ π 2 ）在[0， π 2 ]上不是单调函数； 所以，综合得ω= 2 3 或2． 故选D．