已知数列{an}的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn=an（an+1），设bn＝ni＝
已知数列{an}的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn=an（an+1），设bn＝ni＝11an+i．（1）求数列{an}的通项公式；（2...
已知数列{an}的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn=an（an+1），设bn＝ni＝11an+i．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：无穷数列{bn}为递增数列；（3）是否存在正整数k，使得bn＜k10对任意正整数n恒成立，若存在，求出k的最小值．
展开
2个回答
展开全部
（1）n=1时，2s1=a1（a1+1），s1=a1，a1＞0，
解得a1=1．
n≥2时，an=sn-sn-1，
2sn=an（an+1），2sn-1=an-1（an-1+1），
作差得2an=an（an+1）-an-1（an-1+1），
整理得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，
∴an+an-1≠0，
∴an-an-1=1，
对n≥2时恒成立，因此数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
故an=n；
（2）∵bn+1-bn=
-
=
-
=
+
?
=
?
＝
＞0，
对任意正整数n恒成立∴无穷数列{bn}为递增数列．
（3）存在，且k的最小值为7．
∵b3＝
+
+
＞
，
∴若存在正整数k，
必有k≥7．
又bn＝
=bn＝
=bn＝
?
解得a1=1．
n≥2时，an=sn-sn-1，
2sn=an（an+1），2sn-1=an-1（an-1+1），
作差得2an=an（an+1）-an-1（an-1+1），
整理得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，
∴an+an-1≠0，
∴an-an-1=1，
对n≥2时恒成立，因此数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
故an=n；
（2）∵bn+1-bn=
| n+1 |
 |
| i＝1 |
| 1 |
| an+1+i |
| n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| an+i |
| n+1 |
|
| i＝1 |
| 1 |
| n+1+i |
| n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| n+i |
=
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| (2n+1)(2n+2) |
对任意正整数n恒成立∴无穷数列{bn}为递增数列．
（3）存在，且k的最小值为7．
∵b3＝
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 6 |
| 10 |
∴若存在正整数k，
必有k≥7．
又bn＝
| n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| an+i |
| n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| n+i |
| 2n |
|
| i＝1 |
| 1 |
| i |
| n |
|
| i＝1 |
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
