Question

已知函数f(x)=alnx-ax-3（a∈R）。（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数y= f(x)的图像在点（2，f(2)

已知函数f(x)=alnx-ax-3（a∈R）。（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数y= f(x)的图像在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数 在区间（t，3）上总存在极值？（Ⅲ）当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x- -3，若在区间[1，e]上至少存在一个x 0 ，使得h(x 0 )＞f(x 0 )成立，试求实数p的取值范围．





Answer 1

解：（Ι）由 知： 当a＞0时，函数f(x)的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 当a＜0时，函数f(x)的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 当a=0时，函数f(x)=-3是常数函数，无单调区间。 （Ⅱ）由 ， ∴ ， ， 故 ， ∴ ， ∵函数g(x)在区间（t，3）上总存在极值， ∴ 函数g′(x)在区间（t，3）上总存在零点， 又∵函数g′(x)是开口向上的二次函数，且g′(0)=-2＜0， ∴ ， 由 ，令 ，则 ， 所以，H(t)在[1，2]上单调递减，所以， ； 由 ，解得 ； 综上得： ， 所以当m在 内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数 在区间（t，3）上总存在极值。 （Ⅲ）∵a=2，∴ ， 令 ， 则 ， ①当p≤0时，由x∈[1，e]得 ，从而F(x) ＜0， 所以，在[1，e]上不存在x 0 ，使得 ；  ②当p＞0时， ， ∴ 在[1，e]上恒成立， 故F(x)在[1，e]上单调递增， ∴ 故只要 ，解得 ， 综上所述，p的取值范围是 。