Question

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1?Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1?Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）令n=1，得2a₁-a₁=a12，即a1＝a12，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1?（1+a₂），解得a₂=2，
当n≥2时，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na_n=n?2^n-1，设数列{na_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n?2ⁿ
=2ⁿ-1-n?2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．