Question

设函数f（x）=|x-a|，g（x）=x+1．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3g（x）-1的解集．（2）若不等式f（x）

设函数f（x）=|x-a|，g（x）=x+1．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3g（x）-1的解集．（2）若不等式f（x）≤g（x）在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=|x-1|，
不等式f（x）≥3g（x）-1即|x-1|≥3x+2．
①当x＜?

2

3

时，由于|x-1|≥0且3x+2＜0，不等式成立
②当x≥?

2

3

时，|x-1|≥3x+2≥0，两边平方得：（x-1）²≥（3x+2）²，
解之得：-

2

3

≤x≤-

1

4

综上所述，不等式f（x）≥3g（x）-1的解集是（-∞，-

1

4

]；
（2）不等式f（x）≤g（x），即|x-a|≤x+1在x∈[0，2]上恒成立，
①当a≤0时，不等式转化为x-a≤x+1，
可得a≥-1时不等式恒成立，所以-1≤a≤0；
②当a≥2时，不等式转化为a-x≤x+1，可得x≥

1

2

（a-1），
可得当

1

2

（a-1）≤0时，即a≤1，与大前提矛盾，故这种情况不成立；
③当0＜a＜2时，不等式转化为x-a≤x+1在[a，2]上恒成立，且a-x≤x+1在[0，a]上恒成立，
即a≥-1在[a，2]上恒成立，且x≥

1

2

（a-1）在[0，a]上恒成立，
∴此时a的取值范围为0＜a≤1
综上所述，实数a的取值范围是[-1，1]