Question

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，DE⊥DF． ...

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，DE⊥DF． （1）求证：∠1=∠2；（2）求证：△ADE≌△CDF；（3）若AB=8cm，求四边形AEDF的面积．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AB=AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC．   （1分）
∴∠2=90°-∠ADF．
∵DE⊥DF，
∴∠1=90°-∠ADF．
∴∠1=∠2．  （2分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵点D是BC中点，
∴∠DAC=∠EAD=

1

2

∠BAC=45°．
∴∠C=∠EAD=∠DAC．
∴AD=CD．   （4分）
在△ADE和△CDF中

∠1＝∠2 AD＝CD ∠EAD＝∠C

，
∴△ADE≌△CDF（ASA）．（6分）

（3）∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF（7分）
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF
=S_△ACD=

1

2

S_△ABC（8分）
=

1

2

×

1

2

×8×8=16cm²（9分）