Question

根据如图所示的程序框图，输入一个正整数n，将输出的x值依次记为x1，x2，x3，…，xn；输出的y值依次记为y

根据如图所示的程序框图，输入一个正整数n，将输出的x值依次记为x1，x2，x3，…，xn；输出的y值依次记为y1，y2，y3，…，yn．（1）求数列{xn}的通项公式；（2）写出y1，y2，y3，y4的值，由此猜想出数列{yn}的通项公式；（3）若zn=x1y1+x2y2+…+xnyn，求zn．

Answer 1

（1）由程序框图可知：{x_n}是等差数列，且首项x₁=1，公差d=2
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1…（3分）
（2）y₁=2=3-1，y₂=3×2+2=8=3²-1，y₃=3×8+2=26=3³-1，y₄=3×26+2=80=3⁴-1
故y_n=3ⁿ-1…（7分）
（3）x_n?y_n=（2n-1）（3ⁿ-1）=（2n-1）?3ⁿ-（2n-1），
∴z_n=（3-1）+（3?3²-3）+（5?3³-5）+…+[（2n-1）?3ⁿ-（2n-1）]
=3+3?3²+5?3³+…+（2n-1）?3ⁿ-[1+3+5+（2n-1）]
=3+3?3²+5?3³+…+（2n-1）?3ⁿ-n²
令S_n=3+3?3²+5?3³+…+（2n-1）?3ⁿ3S_n
=3²+3?3³+5?3⁴+…+（2n-1）?3ⁿ⁺¹
∴-2S_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）?3ⁿ⁺¹
=2（1-n）?3ⁿ⁺¹-6
∴S_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3
∴z_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3-n²…（14分）