Question

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知a为实数，f(x)＝a?22x+1(x∈R)．（1）求证：对

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知a为实数，f(x)＝a?22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)＝a?

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的导数为f'（x）=-

?2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)＝a?

2

20+1

＝0，可得a=1．
∴f(x)＝1?

2

2x+1

＝

1?2x

2x+1

，
令y=

1?2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1?y

，x=log₂

1+y

1?y

，（-1＜y＜1）
∴函数f（x）的反函数为：f?1(x)＝log2

1+x

1?x

(?1＜x＜1)
由log2

1+x

1?x

＝log2(x+t)得

1+x

1?x

=x+t，即-1+

2

1?x

=x+t，
∴t＝(1?x)+

2

1?x

?2≥2

2

?2
当且仅当1?x＝

2

1?x

，即x＝1?

2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

2

?2，+∞)．