Question

定义在R上的函数的图象关于点 (-3/4,0)成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=-f（x+ 3/2 ）

且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2014）=（　　1）．怎么求的

Answer 1

由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-f（x+），我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（-1）=1，f（0）=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．
解：∵f（x）=-f（x+），
∴f（x+）=-f（x），
则f（x+3）=-f（x+）=f（x）
所以，f（x）是周期为3的周期函数．
则f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（）=-f（-1）=-1
∵函数f（x）的图象关于点（-，0）成中心对称，
∴f（1）=-f（-）=-f（）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）=1

Answer 2

由关于点(-3/4)对称，得f(x)=-f(-x-3/2) (x关于-3/4的对称）
又f(x)=-f(x+3/2)
所以-f(-x-3/2)=-f(x+3/2) 即f(x)=f(-x)
由于函数有一个对称轴和一个对称中心，所以函数周期T=4*(0-(-3/4))=3
f(1)=f(-1)=1 f(2)=f(-1+3)=1 f(3)=f(0+3)=-2 f(1)+f(2)+f(3)=0 又T=3
2014/3=671......1其余项和为0 f(2014)=f(1+671T)=1
综上上式=1