Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，

顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限. (1)当∠BAO=45°时，求点P的坐标; (2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上;

Answer 1

解析如下：

(1)当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°= a

从而 P点坐标为（ a， a）

(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F。

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

由∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°得∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中

△AOB≌和△DEA（AAS）

从而AE=0B=n,DE=OA=m。

则 D点坐标为（m+n,m）

又点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

则P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°。

从而OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

四则运算的运算顺序：

1、如果只有加和减或者只有乘和除，从左往右计算。

2、如果一级运算和二级运算，同时有，先算二级运算。

3、如果一级，二级，三级运算（即乘方、开方和对数运算）同时有，先算三级运算再算其他两级。

4、如果有括号，要先算括号里的数（不管它是什么级的，都要先算）。

5、在括号里面，也要先算三级，然后到二级、一级。

Answer 2

(1)当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°= a
从而 P点坐标为（ a， a）

(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

由∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°得∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中

△AOB≌和△DEA（AAS）

从而AE=0B=n,DE=OA=m,

则 D点坐标为（m+n,m）

又点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

则 P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°,

从而OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

Answer 3

引用84451701的回答：
(1)当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°= a
从而 P点坐标为（ a， a）

(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

由∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°得∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中

△AOB≌和△DEA（AAS）

从而AE=0B=n,DE=OA=m,

则 D点坐标为（m+n,m）

又点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

则 P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°,

从而OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

勘误：由中点坐标公式，P点坐标为（ (m+n)/2, (m+n)/2 ）