Question

（2007?青岛）演绎式探究：由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半

（2007?青岛）演绎式探究：由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度v运动时，所受的流体阻力可用公式f=6πηRv表示．（1）小球在流体中运动时．速度越大，受到的阻力______．（2）密度为ρ、半径为R的小球在密度为ρ0、粘滞系数为η的液体中由静止自由下落时的v-t图象如图所示，请推导出速度vr的数学表达式：vr=______．

Answer 1

（1）由公式f=6πηRv可以看出，小球所受流体的阻力f与小球的速度v成正比例关系，所以，小球速度越大，所受阻力越大．
（2）小球在流体中下落时受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=

4

3

πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=

4

3

πR³ρ₀g；
小球所受流体阻力：f=6πηRv．
由图象可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化简可得：v_r=

2R2g(ρ?ρ0)

9η

．
故答案为：（1）越大；（2）

2R2g(ρ?ρ0)

9η

．

Answer 2

(1) 因为f=6πηRv， 速度越大，受到的阻力 越大。
(2）小球质量 m= ρ (4/3 π R^3)
let a=6πηR
小球运动方程 m v' = m g - a v
v'=a ( mg/a -v )
dv/( mg/a - v ) = a dt
∫_(0 to v) dv/( mg/a - v ) = ∫_(0 to t) a dt
-( ln(mg/a-v) - ln(mg/a) )=a t
(mg/a -v)/(mg/a) = e^(-a t)
v=(mg/a) (1-e^(-a t) )
=(ρ (4/3 π R^3) g /(6πηR) ) (1-e^(-6πηR t) )
=(2/9) ρ R^2 g/η (1-e^(-6πηR t) )