Question

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每 秒1

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每 秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm， ∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP=2， ∵∠C=90°， ∴PB= 2 2 + 3 2 = 13 ， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ 13 =7 + 13 ． （2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm， 此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形； ②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm， 所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm， 作CD⊥AB于点D， 在Rt△PCD中，PD= PC 2 - CD 2 = 3 2 - 2.4 2 =1.8， 所以BP=2PD=3.6cm， 所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm， 则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形； ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形； 综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形 （3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t-3=3， ∴t=2； 如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-4，AQ=2t-8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t-4+2t-8=6， ∴t=6， ∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．