Question

已知数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =a（S n -a n +1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{a n }的

已知数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =a（S n -a n +1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n 2 +S n ?a n ，若数列{b n }为等比数列，求a的值；（Ⅲ）设c n =log a a 2n-1 ，求数列{a 2n ?c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（I）∵S n =a（S n -a n +1） ∴S n-1 =a（S n-1 -a n-1 +1）（n≥2） 两式相减可得，S n -S n-1 =a（S n -a n +1-S n-1 +a n-1 -1）（n≥2） 即a n =a[（S n -S n-1 ）-a n +a n-1 ]=a?a n-1 ∴ a n a n-1 =a （n≥2） ∵S 1 =a（s 1 -a 1 +1） ∴a 1 =a ∴数列{a n }是以a为首项以a为公比的等比数列 ∴a n =a n （II）∵S n =a（S n -a n +1） ∴S n =a× 1- a n 1-a ∴b n =a n 2 +S n ?a n = a n ( a n + a(1- a n ) 1-a ） ∵b n 为等比数列∴b 2 2 =b 1 b 3 ∴ a 4 [ a 2 + a(1- a 2 ) 1-a ]   2 =2a 2 ?a 3 [ a 3 + a(1- a 3 ) 1-a ] ∵a≠0，a≠1 解可得 a= 1 2 （III）∵C n =log a a 2n-1 =2n-1，a 2n ?C n =（2n-1）?a 2n ∴T n =a 2 +3a 4 +…+（2n-1）a 2n a 2 T n =a 4 +3a 6 +…+（2n-3）a 2n +（2n-1）?a 2n+2 两式相减可得，（1-a 2 ）T n =a 2 +2（a 4 +a 6 +…+a 2n ）-（2n-1）?a 2n+2 = a 2 + 2 a 4 (1- a 2n-2 ) 1- a 2 -(2n-1)? a 2n+2 ∴T n = a 2 (1+ a 2 )-(2n+1)? a 2n+2 +(2n+1)? a 2n+4 (1- a 2 )   2