Question

已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动

已知椭圆C： x 2 4 + y 2 3 =1 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．（Ⅰ）求曲线D的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），C（x 3 ，y 3 ），则其重心G的坐标为（ x 1 + x 2 + x 3 3 ， y 1 + y 2 + y 3 3 ））

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心 E( x+1 2 ，y) ， 则 |x+1| 2 = 1 2 |PF|= 1 2 (x-1) 2 + y 2 ， 整理得y 2 =4x，为所求． （Ⅱ）不存在，理由如下： 若这样的三角形存在，由题可设 P( y 1 2 4 ， y 1 )( y 1 ≠0)，M( x 2 ， y 2 ) ， 由条件①知 x 2 2 4 + y 2 2 3 =1 ， 由条件②得 OA + OP + OM = 0 ，又因为点A（-2，0）， 所以 y 1 2 4 + x 2 -2=0 y 1 + y 2 =0 即 y 2 2 4 + x 2 -2=0 ， 故 3 4 - 3 16 x 2 2 + x 2 -2=0 ， 解之得x 2 =2或 x 2 = 10 3 （舍）， 当x 2 =2时，解得P（0，0）不合题意， 所以同时满足两个条件的三角形不存在．