Question

已知抛物线C: 的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且 .(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直

已知抛物线C: 的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且 .(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线 与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.

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Answer 1

（1） ；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.

试题分析：（1）设Q（x 0 ，4），代入由 中得x 0 = ，在根据抛物线的性质可得 ，解出p即可 （2）设直线l的方程为 ，（m≠0）代入 中得 ，直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .A（x 1 ,y 1 ）,B(x 2 ,y 2 ), M(x 3 ,y 3 ),N(x 4 ,y 4 ),根据二次函数根与系数的关系可得y 1 +y 2 =4m，y 1 y 2 =－4， .然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算 的表达式,根据 求出m即可. 试题解析：（1）设Q（x 0 ，4），代入由 中得x 0 = ， 所以 ，由题设得 ，解得p=－2（舍去）或p=2. 所以C的方程为 . （2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为 ，（m≠0）代入 中得 ， 设A（x 1 ,y 1 ）,B(x 2 ,y 2 ),则y 1 +y 2 =4m，y 1 y 2 =－4， 故AB的中点为D（2m 2 +1,2m）， ， 有直线 的斜率为－m，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 . 设M(x 3 ,y 3 ),N(x 4 ,y 4 ),则 . 故MN的中点为E（ ）. 由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于 ,从而 ,即 ，化简得 m 2 -1=0，解得m=1或m=－1， 所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.