Question

（本题满分12分）设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 .(1)求 的解析式;(2)证明:曲线 上任一点处的切

（本题满分12分）设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 .(1)求 的解析式;(2)证明:曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

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Answer 1

(1) . (2)曲线 上任一点处的切线与直线 , 所围成的三角形的面积为定值

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，求解切线方程，以及运用三角形的面积公式求解面积的综合运用。 （1）根据曲线 在点 处的切线方程为 ，说明在x=2处的导数值为7/4,然后利用求导，代值得到结论。 （2）利用切线方程分别得到与x,y轴交点的坐标，然后，运用坐标表示长度得到三角形的面积 解:(1)方程 可化为 . 当 时, . 又 , 于是 解得  ,故 . (2)设 为曲线上任一点,由 知曲线在点 处的切线方程为 ,即 . 令 得 ,从而得切线与直线 的交点坐标为 . 令 得 ,从而得切线与直线 的交点坐标为 . 所以点 处的切线与直线 , 所围成的三角形面积 为 .故曲线 上任一点处的切线与直线 , 所围成的三角形的面积为定值