Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE的延

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE的延长线交DC的延长线于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．（1）求证：△BEF ∽ △CEG；（2）求用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）证明：∵EF⊥AB，AB ∥ DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°． 又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF ∽ △CEG； （2）由（1）得DG为△DEF中EF边上的高，设BE=x， 在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB= 3 2 x ． 在Rt△CEG中， CE=3-x，GC=(3-x)cos60°= 3-x 2 ，∴ DG=DC+GC= 11-x 2 ， ∴ S= 1 2 EF?DG=- 3 8 x 2 + 11 3 8 x ，（其中0＜x≤3）； （3）∵ a=- 3 8 ＜0 ，对称轴 x= 11 2 ＞3，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大， 所以，当x=3时，即E与C重合时，取最大值： S max =3 3 ．