Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，(Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)是否存在平

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，(Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意，可设椭圆C的方程为 (a＞b＞0）， 且可知左焦点为F′(-2，0)，从而有 ， 解得 ， 又a 2 =b 2 +c 2 ，所以b 2 =12， 故椭圆C的方程为 。 (Ⅱ)假设存在符合题意的直线l，其方程为 ， 由 得3x 2 +3tx+t 2 -12=0， 因为直线l与椭圆C有公共点，所以△=(3t) 2 -4×3(t 2 -12)≥0， 解得 。 另一方面，由直线OA与l的距离d=4可得 ， 从而 ， 由于 ， 所以符合题意的直线l不存在。