Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=2

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=2，c=1，D为BC的中点，求a及AD的长．

Answer 1

（1）∵A+C=π-B，A，B∈（0，π），
∴sin（A+C）=sinB＞0
又∵2bcosA=acosC+ccosA
∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
结合sinB为正数，可得cosA=

1

2

．
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）由（1）A=

π

3

，根据余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴c=

3

．
因此cosB=

a2+c2?b2

2ac

=0，可得B=

π

2

∴在Rt△ABD中，AD＝

AB2+BD2

＝

12+( 3 2 )2

＝

7

2

．