Question

（2014?汕尾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于

（2014?汕尾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD?BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OD．

∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC；
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴ED=DB．
∴EB=EC，即点E为边BC的中点；

（2）∵AC为直径，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴

AB

BC

＝

BC

BD

，
∴BC²=BD?BA；

（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．