Question

已知函数f(x)＝x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2

已知函数f(x)＝x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b?2a?1的取值范围是（　　）A．(?1，?14)B．（-∞，?14）∪（1，+∞）C．(14，1)D．(12，2)

Answer 1

解：∵函数 f(x)＝

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b=0的两个根为x₁，x₂，
∵x₁，x₂分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴

f′(0)＞0 f′(2)＞0 f′(1)＜0

?

b＞0 a+b+2＞0 a+2b+1＜0

画出区域如图，
而

b?2

a?1

可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM＝

2?1

1+3

＝

1

4

，
当连线过N（-1，0）时，kPN＝

2?0

1+1

＝1，
由图知

b?2

a?1

∈(

1

4

，1)．
故选C．