Question

已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项

已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝1(log2an)2，求证：对任意正整数n，总有Tn＜2；（Ⅲ）在正数数列{cn}中，设(cn)n+1＝n+12n+1an+1(n∈N*)，求数列{lncn}中的最大项

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴

an

an?1

＝2.（n≥2，n∈N^*）
即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn＝

1

(log2an)2

＝

1

n2

.（6分）
∴Tn＝

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1?2

+

1

2?3

+…+

1

(n?1)n

=1+1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n?1

?

1

n

＜2（9分）
（Ⅲ）解：由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n?1)

n+1

令f(x)＝

lnx

x

，则f′(x)＝

1 x ?x?1nx

x2

＝

1?lnx

x2

.
∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．
又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2＝

1

3

ln3.（14分）