Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E，　　（1）求证：AE=AF

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E，　　（1）求证：AE=AF；　（2）若PB∶PA=1∶2，M是弧BC上的一点，AM交BC于D且PD=DC，试确定M点在弧BC上的位置，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵PA是切线，A是切点，　 ∴∠PAB=∠C， 又PF是∠APC的平分线，　　 ∴∠1=∠2，∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFP=∠C+∠2， ∴∠AEF=∠AFP，　　 ∴AE=AF。 （2）设PB=k，则PA=2k（k＞0）， ∴PA 2 =PB·PC，4k 2 =k·PC，PC=4k， ∵PD=DC=2k，　　 在△APD中，PA=PD，∠1=∠2， ∴PF⊥AM；　 在△AEF中，由（1）得AE=AF， ∴∠BAM=∠MAC， ∴ = ，即点M是 的中点。