Question

已知函数f（x）=ax2+bx-1，a∈（0，4），b∈R．（1）若b＜0，且当x∈[-1a，0]时，f（x）∈[-3a，0]，求a

已知函数f（x）=ax2+bx-1，a∈（0，4），b∈R．（1）若b＜0，且当x∈[-1a，0]时，f（x）∈[-3a，0]，求a，b的值；（2）是否存在实数a，b，使f（x）恰有一个零点x0∈（1，2），若存在，请给出一对实数a，b；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4）的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2a

为对称轴的抛物线，
故当b＜0时，函数f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上为减函数，
又∵f（x）∈[-

3

a

，0]，
∴f（0）=1=-

3

a

，且f（-

1

a

）=

1

a

-

b

a

-1=0，
解得：a=-3，b=4，
（2）若f（x）恰有一个零点x₀∈（1，2），
则f（1）?f（2）＜0，
即（a+b-1）（4a+2b-1）＜0，
当a=1，b=-1时，满足要求