Question

如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE。

如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE。 （1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长。

Answer 1

解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）。
（2）过点C作CH⊥BQ于H， ∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线， ∴∠DAC=30°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠QBC=∠DAC=30°， ∴ ， ∵PC=CQ=5，CH=4， ∴PH=QH=3， ∴PQ=6。