Question

已知函数f（x）=x 2 +mx+n（m∈R，n∈R）．（1）若n=1时，“至少存在一个实数x 0 ，使f（x 0 ）＜0成立”

已知函数f（x）=x 2 +mx+n（m∈R，n∈R）．（1）若n=1时，“至少存在一个实数x 0 ，使f（x 0 ）＜0成立”（命题表示为?x∈R，使f（x）＜0成立）为假命题，求m的取值范围；（2）命题P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点，命题Q：-2＜m＜0，0＜n＜1．试分析P是Q的什么条件，并说明理由．（是充要条件、充分不必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）

Answer 1

（1）“至少存在一个实数x 0 ，使f（x 0 ）＜0成立”为假命题，则“?x∈R，f（x）≥0恒成立”为真命题．所以f（x）=x 2 +mx+n≥0恒成立， 所以△=m 2 -4n≤0，n=1，m 2 ≤4，-2≤m≤2；                             （7分） （2）P是Q的充分不必要条件． 充分性：P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点， 则 m 2 -4n＞0 0＜- m 2 ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0 ，则 m 2 ＞4n -2＜m＜0 n＞0 ， 故4n＜1，即0＜n＜1，所以P是Q的充分条件；                             （11分） 当-2＜m＜0，0＜n＜1时， 取 m=- 1 2 ，n= 1 2 ，则△= m 2 -4n＜0 ， 函数y=f（x）没有零点， 所以P是Q的不必要条件； 综上：P是Q的充分不必要条件．                                           （15分）