Question

如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连

如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．

Answer 1

（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v 1 ． 由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+ 1 2 m v 1 2     解得 v 1 = 2gR   故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为 2gR ． （2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为  v min = gR ∵ v 1 = 2gR ＞ gR ∴小球能通过甲轨道而不撞轨 设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为 v 2 = gr 小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得： mg(3R-2r)-μmgx= 1 2 m v 2 2  解得：x= 6R-5r 2μ 所以x≤ 6R-5r 2μ ． 小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0   解得：x= 3R-r μ ． 小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0    解得：x= 3R μ 所以 3R-r μ ≤x＜ 3R μ 故CD的长度x≤ 6R-5r 2μ 或 3R-r μ ≤x＜ 3R μ ．