如图，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，AB是一条外公切线，A、B为切点．（1）连接AP、BP，证明：AP⊥BP；（2）
如图，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，AB是一条外公切线，A、B为切点．（1）连接AP、BP，证明：AP⊥BP；（2）连接BO2并延长交⊙O2于点D，过D引⊙O1的切线，切...
如图，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，AB是一条外公切线，A、B为切点．（1）连接AP、BP，证明：AP⊥BP；（2）连接BO2并延长交⊙O2于点D，过D引⊙O1的切线，切点为C，证明：CD=BD．（3）设⊙O1、⊙O2的半径分别为1和3，求阴影部分的面积．
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证明：（1）连接PD，AO1，O1O2，过P作两圆的切线，交AB于M，
∵BD是圆O2的直径，
∴∠BPD=90°，
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°；
（2）∵∠APD=180°．
∴A，P，D三点共线
∵CD切圆O1于点D，∴CD2=CP?CA，
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵BP⊥AD，
∴∠DPB=∠DBA=90°，∠BDP=∠BDA，
∴△DBP∽△DAB，
∴CB2=CP?CA，
故CD=CB；
（3）解：过点O1作AN∥O1O2交O2B于点N，
∵⊙O1与⊙O2外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为3，
∴四边形AO1O2N是平行四边形，
∴NA=O1O2=1+3=4，AO1=NO2=1，
∴BN=3-1=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=
=2
，
∴sin∠ANB=
=
=
，
∴∠ANB=60°，
∴∠BO2P=60°，
∴∠AO1P=180°-60°=120°，
∴S阴影=S 梯形O1ABO2-S 扇形AO1P-S 扇形BO2P=
×（1+3）×2
-
-
=4
∵BD是圆O2的直径，
∴∠BPD=90°，
又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°；
（2）∵∠APD=180°．
∴A，P，D三点共线
∵CD切圆O1于点D，∴CD2=CP?CA，
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵BP⊥AD，
∴∠DPB=∠DBA=90°，∠BDP=∠BDA，
∴△DBP∽△DAB，
∴CB2=CP?CA，
故CD=CB；
（3）解：过点O1作AN∥O1O2交O2B于点N，
∵⊙O1与⊙O2外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为3，
∴四边形AO1O2N是平行四边形，
∴NA=O1O2=1+3=4，AO1=NO2=1，
∴BN=3-1=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=
| AN2-BN2 |
| 3 |
∴sin∠ANB=
| AB |
| AN |
2
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
∴∠ANB=60°，
∴∠BO2P=60°，
∴∠AO1P=180°-60°=120°，
∴S阴影=S 梯形O1ABO2-S 扇形AO1P-S 扇形BO2P=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 120π?12 |
| 360 |
| 60π?32 |
| 360 |
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