Question

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE⊥BF；（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）延长AE交BF于点M．
①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
②证明：根据正方形的性质，
在△BAE和△CBF中，
∵

AB＝BC ∠ABE＝∠BCF＝45° BE＝CF

，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
根据外角性质，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，
又∵∠FAM=45°-∠BAE，
∴∠AMF=180°-（∠FAM+∠AFM）=180°-（45°+∠CBF+45°-∠BAE）=90°，
∴AE⊥BF；

（2）当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：
延长AE交BF于点M，如图所示：
∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴

BE

AE

=

EM

EO

=

BM

AO

，
即AO=

AE?BM

BE

=

EO?BM

EM

，
∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴

BM

BO

=

BE

BF

=

EM

FO

，
即BO=

BM?BF

BE

=

BE?OF

EM

，
∵AO=BO，BE=OF，
∴BE=EO，
故当AE⊥BF时，点E在BO中点．