Question

已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1＝2a2n+3an+man+1(n∈N*)．（1）当m=1时，求数列{an}的通项an

已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1＝2a2n+3an+man+1(n∈N*)．（1）当m=1时，求数列{an}的通项an；（2）当n∈N*时，数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立，求m的取值范围；（3）在-3≤m＜1时，证明1a1+1+1a2+1+…+1an+1≥1?12n．

Answer 1

（1）m=1，由an+1＝

2 a 2 n +3an+1

an+1

(n∈N*)，
得：an+1＝

2(an+1)(an+1)

an+1

=2a_n+1，所以a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是a_n+1=2?2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n．而a₁=1，知a_n＞0，∴

2 a 2 n +3an+m

an+1

≥a_n，即m≥-a_n²-2a_n
依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．
（3）-3≤m＜1时，由（2）知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
设数列cn＝

1

an+1

，则cn+1＝

1

an+1+1

＝

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

＝

an+1

2(an+1)2+m?1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

＝

1

2

?

1

an+1

＝

1

2

cn，
∴c1＝

1

2

，c2＞

1

2

c1＝

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1< 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式