Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于E，l2交圆C于P、Q两点，若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．

Answer 1

设M（x，y），由点M在线段AD上，得

x

t

+

y

2

＝1，
即2x+ty-2t=0，
由AM≤2BM，得（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

，
依题意，线段AD与圆（x-

4

3

）²+（y+

2

3

）²≥

20

9

至多有一个公共点，
故

| 8 3 ? 8 3 t|

4+t2

≥

2 5

3

，
解得t≤

16?10 3

11

或t≥

16+10 3

11

，
∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
①当直线l₂：x=1时，直线l₁的方程为y=0，此时S_△EPQ=2；
②当直线l₂的斜率存在时，设l₂的方程为y=k（x-1），k≠0，
则l₁的方程为y=

1

k

(x?1)，点E（0，

1

k

），∴BE=