Question

已知函数f （x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求f（x）的最小值；（2）当a=12时，求f（x）的

已知函数f （x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求f（x）的最小值；（2）当a=12时，求f（x）的最小值；（3）若a为正常数，求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=4时，f（x）=x+

4

x

+2，易知，f（x）在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（2）=6．
（2）当a=

1

2

时，f（x）=x+

1

2x

+2．
易知，f（x）在[1，+∞）上为增函数．
∴f（x）_min=f（1）=

7

2

．
（3）函数f（x）=x+

a

x

+2在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
若

a

＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）_min=f（

a

）=2

a

+2．
若

a

≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=a+3．