Question

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为6565．

Answer 1

由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM=

1

2

AP，由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=5，
∵S_△ABC=

1

2

AB?AC=

1

2

BC?AP，
∴AP=

3×4

5

=

12

5

，
∴AM=

1

2

AP=

6

5

．