Question

两题有深度的定积分

∫(0~∞) cosx/(1 + x²) dx
∫(0~∞) xsinx/(1 + x²) dx

Answer 1

1、方法①
I=1/2∫(-∞,+∞)cosx/(1+x^2)dx
=1/2Re∫(-∞,+∞)e^(ix)/(1+x^2)dx
=1/2Im{2πiRes[f(z),i]}
=π/(2e)
其中 Res[f(z),i]=[e^(iz)/(2z)|_(z=i)]=1/(2i)e^(-1),f(z)=e^(iz)/(1+z^2)

方法②
记f(t)=∫(0~∞) cos(tx)/(1 + x²) dx
关于t取laplace变换有
F(s)=L[f(t)]=∫(0~∞) s/[(s²+x²)(1 + x²)]dx=π/2*1/(1+s)
取逆变换有
f(t)=π/2*e^(-t),取t=1即可得结果.

方法③
含参积分(略)

2、I=1/2∫(-∞,+∞)xsinx/(1+x^2)dx
=1/2Im∫(-∞,+∞)xe^(ix)/(1+x^2)dx
=1/2Im{2πiRes[f(z),i]}
=1/2Im{2πi*[ze^(iz)/(2z)]_(z=i)}
=π/(2e)
其中 f(z)=ze^(iz)/(1+z^2)

方法②③略....

当然,这两个laplace积分用含参积分做,稍微复杂点.

事实上楼主可以用多种方法证明：一般的
∫(0~∞) cos(ax)/(1 + x²) dx=∫(0~∞) xsinx/(a² + x²) dx=π/(2e^a)

感兴趣可以去做类似的
∫(0~∞)xsinx/(x^4+1)dx=? ∫(0~∞)(1+x^2)cos(ax)/(1+x^2+x^4)dx=? ∫(0~∞)1/(1+x^n)dx=?,n>1
∫(0~∞)sin(ax²+bx+c)dx=? ∫(0~∞)x^n/(e^x-1)dx=,分别计算n=1,2,3的积分?

Answer 2

1

Answer 3

你又出难题了(⊙o⊙)
你可以直接去数学吧问的
那里高手比这多多了