Question

华中科技大学高数作业6

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Answer 1

1.D e^(-x)dx=-de^(-x) 再将e^(-x)代换为t
2.D f(x)=lnx+1
3.B
4.A ∫ cos(1-3x)dx=(-1/3)∫ cos(1-3x)d(1-3x)=(-1/3)sin(1-3x)+C

5.B 原式=∫ 1/[(x-1)(x-3)]dx=1/2∫ 1/(x-1)d(x-1)-1/2∫ 1/(x-3)d(x-3)=1/2ln(|x-1|/|x-3|)+C

6.原式=∫ arctanxdx^2=x^2*arctanx-∫ x^2darctanx=x^2*arctanx-∫ (x^2+1-1)/(x^2+1)dx=
x^2*arctanx-dx+∫ 1/(x^2+1)dx=x^2*arctanx-x+arctanx+C
7.原式=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/[(sinx)^2(cosx)^2]dx=∫(secx)^2dx+∫(cscx)^2dx=tanx-cotx+C
8.令e^(2x)=t 则：x=lnt/2 dx=1/(2t)dt
原式=(1/2)∫1/[t*(1+t)]dt=1/2∫1/tdt-1/2∫1/(t+1)dt=(1/2)ln(|t|/|t+1|)+C= (1/2)ln(|e^(2x)|/|e^(2x)+1|)+C
9.令x=2cost <t属于(0,π/2) 则：dx=-2sintdt ； t=arccos(x/2)； sint=√(4-x^2)/2 cost=x/2
原式=-∫4(cost)^2*(2sint)/(2sint)dt=-4∫(cost)^2dt=-2∫(1+cos2t)dt=-2∫dt-∫cos2td(2t)=-2t-sin(2t)+C=-2arccos(x/2)-2sintcost+C=-2arccos(x/2)-x√(4-x^2)/2+C