Question

一道简单高中数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

使f(x)=sin(2x+y)+√3cos(2x+y)为奇函数，且在[0,π/4]上是减函数的y的一个值是（ ）
A π/3 B 5π/3 C 4π/3 D 2π/3

Answer 1

A
因为f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)；即
sin(-2x+y)+√3cos(-2x+y)=-sin(2x+y)-√3cos(2x+y)
-sin(2x-y)+√3cos(2x-y)=-sin(2x+y)-√3cos(2x+y)
2(1/2sin(2x-y)-√3/2cos(2x-y))=2(1/2sin(2x+y)+√3/2cos(2x+y))
sin(2x-y+π/3)=sin(2x+y-π/3）
则2x-y+π/3=2x+y-π/3+kπ (f(x)的周期为π）
得y=π/3+π/2*k （排除B，D）
又f(x)在[0,π/4]上是减函数，f(x)=sin(2x+y)+√3cos(2x+y)=2sin(2x+y-π/3 ）
有π/2+2kπ<=2x+y-π/3<=3π/2+2kπ是减函数
得5π/12+kπ-y/2<=x<=11π/12+kπ-y/2，这个区间要在[0,π/4]内
得答案为A
这是比较详细的，要是做填空题的话，一般直接用带入排除法就可以了
建议做大题时这么算，小题太浪费时间还麻烦

Answer 2

f(x)=2[1/2*sin(2x+y)+√3/2*cos(2x+y)]
=2[sin(2x+y)cosπ/3+cos(2x+y)sinπ/3]
=2sin(2x+y+π/3)
所以：y+π/3=π
y=2π/3
选：D

追问

带回去验算D是对的，为什么那么多人选A呢？

追答

他们可能是受其周期为π的影响吧。

追问

什么意思啊？你能说明白一些吗？O(∩_∩)O谢谢。

追答

本题主要考虑两点：
1、奇函数：f(0)=0,对于sin来说其角应该取：y+ π/3=kπ,就是找零点；
2、在[0,π/4]是减，所以，所移动角是k的奇数倍，即k=1,3,5,……
3、不要过多考虑其周期为π。应用不当会导致错误。

Answer 3

f(x)=sin(2x+y)+√3cos(2x+y)
=2sin(2x+y+π/3)
奇函数 y+ π/3=kπ y=kπ-π/3 排除A,C
[0,π/4]上是减函数 排除D
答案A

追问

你好，为什么不选D呢？如果是D，在这上面也是减函数的。

Answer 4

f(x)=2sin(2x+y+π/3)
f(-x)=2sin(-2x+y+π/3)
f(x)+f(-x)=0
T=2π/2=π
y=π/3+(kπ）/2
k=0
y=π/3
A