Question

在平面直角坐标系中,直线y=2x+m与y轴交于点a，与直线y=-x+4交于点b（3，n），p为直线y=-x+4上一点。

在平面直角坐标系中,直线y=2x+m与y轴交于点a，与直线y=-x+4交于点b（3，n），p为直线y=-x+4上一点。
求（1）m，n的值；
（2）当直线ap最短时，求p的坐标，并求此时△apb的面积。

Answer 1

（1）B（3，n）在直线y=-x+4上，带入有n=-3+4=1，所以B（3，1）
同时，B在直线y=2x+m上，带入有6+m=1，所以m=-5
（2）可知A（0，-5），设P（a，4-a）
于是AP^2=a^2+(4-a+5)^2=2(a-9/2)^2+153/2
可知当a=9/2时，AP最小=根号下153/2
此时P（9/2,-1/2）
由此可知AP=（3/2）倍根号34
BP=(3/2)倍根号2
因为AP最短，所以AP是垂直于直线y=-x+4的，那么AP就是三角形APB的高。
所以三角形APB的面积=(1/2)*AP*BP=(9/4)倍根号下17