Question

抛物线y=ax 2 +bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，设抛物线y

抛物线y=ax 2 +bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，设抛物线y=ax 2 +bx+3的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移后抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的取值范围； （3）如图2，将抛物线y=ax 2 +bx+3平移，平移后抛物线与x轴交于点E、F，与y轴交于点N，当E（﹣1，0）、F（5，0）时，在抛物线上是否存在点G，使△GFN中FN边上的高为 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）抛物线解析式y=ax 2 +bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=x 2 +4x+3． （2）由（1）配方得y=（x+2） 2 ﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为M（﹣2，﹣1）， ∴直线OD的解析式为y= x， 于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h， h）， ∴平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣h） 2 + h， 当抛物线经过点C时， ∴C（0，9）， ∴h 2 + h=9． 解得h= ， ∴当 ≤h≤ 时， 平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点； 当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组 ，得x 2 +（﹣2h+2）x+h 2 + h﹣9=0， ∴△=（﹣2h+2） 2 ﹣4（h 2 + h﹣9）=0，解得h=4， 此时抛物线y=（x﹣4） 2 +2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意． ∴平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是 或h=4． （3）平移后，当E（﹣1，0）、F（5，0）时， 抛物线的解析式为：y=（x+1）（x﹣5）， 即y=x 2 ﹣4x﹣5． 当x=0时，y=﹣5． ∴N（0，﹣5）． ∴OF=ON=5，假设存在点G，使△GFN中FN边上的高为7 ， ∴G点应在与直线FN平行，且相距7 的两条平行线l 1 （如图所示）和l 2 （在直线FN下方且平行于直线FN）上．由平行的性质可以知道l 1 和l 2 与y轴的交点到直线FN的距离也为7 ，如图，设l 1 与y轴交于点P，过点P作PQ⊥FN，垂足为Q， ∵OF=ON， ∴∠ONF=OFN=45°． 在Rt△PQN中，PQ=7 ，∠PNQ=∠ONF=45°， 由勾股定理，得PN= PQ=14． ∴直线l 1 与y轴的交点坐标为P（0，9）． 同理可得：直线l 2 与y轴的交点坐标为R（0，﹣19）． ∵OF=ON=5， ∴F（5，0），N（0，﹣5）， ∴容易求得直线FN的解析式为：y=x﹣5． ∴直线l 1 、l 2 的解析式分别为l 1 ：y=x+9；l 2 ：y=x﹣19． 根据题意，列方程组：① ， ， 由①，得x 2 ﹣5x﹣14=0， 解得x 1 =7，x 2 =﹣2 ∴ ， ． ∴G 1 （7，16），G 2 （﹣2，7）． 由②，得x 2 ﹣5x+14=0． ∵△=（﹣5） 2 ﹣4×1×14＜0，此方程无实数根． ∴在抛物线上存在点G，使△GFN中FN边上的高为7 ． 点G的坐标为：G 1 （7，16），G 2 （﹣2，7）．