Question

若数列{an}的前n项和为Sn，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，（1）求a1的值；（2）求证：（an-2）2-an-12=0（n≥

若数列{an}的前n项和为Sn，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，（1）求a1的值；（2）求证：（an-2）2-an-12=0（n≥2）；（3）求出所有满足条件的数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且有4Sn＝an2+4n?1，n∈N*，
∴n=1代入得4a₁=a12+4n-1，
解得a₁=1或a₁=3．…（2分）
（2）已知有4Sn＝an2+4n?1，n∈N*，①
当n≥2时，有4Sn?1＝an?12+4(n?1)?1，n∈N*②…（4分）
①-②得：4an＝an2?an?12+4，
即(an?2)2?an?12＝0(n≥2)．　…（6分）
（3）由（2）得a_n-a_n-1=2或a_n+a_n-1=2，…（7分）
由

a1＝1 an?an?1＝2

得通项公式为：an＝2n?1(n∈N*)；　　…（8分）
由

a1＝1 an+an?1＝2

得通项公式为：an＝1(n∈N*)；