Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．(1)试说明：△ABD≌△BCE．

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．(1)试说明：△ABD≌△BCE． (2)△AEF与△ABE相似吗?请说明理由．(3)试说明：BD 2 =AD·DF．

Answer 1

证明见解析

（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE； （2）答：相似； 理由如下： ∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE， ∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE， ∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA， ∴△EAF∽△EBA． （3）BD 2 =AD?DF； 证明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB， 又∵∠ADB=∠BDF， ∴△BDF∽△ADB； ∴BD AD ="DF" BD ，即BD 2 =AD?DF； （1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE； （2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE，进而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA， （3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根据两个对应角相等的三角形相似证得．