Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer 1

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴ =90°，HD=HA， ∴ ，…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分 （2）①如图1，当 时， ED= ，QH= ， 此时 ． …………………………………………3分 当 时，最大值 ． ②如图2，当 时， ED= ，QH= ， 此时 ． …………………………………………2分 当 时，最大值 ． ∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是 ．……………………………………………………………………1分 （3）①如图1，当 时， 若DE=DH，∵DH=AH= ， DE= ， ∴ = ， ． 显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分 ②如图2，当 时， 若DE=DH， = ， ；  …………………………………………1分 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合， ； ………………………1分 若ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴ ， ， ．  ……………………………………1分 ∴当x的值为 时，△HDE是等腰三角形. （其他解法相应给分）

（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似； （2）利用BP在不同位置的不同取值，得到y关于x的函数关系式，利用二次函数的最值即可求得最大值； （3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．