Question

已知函数f（x）=ex-kx，．（Ⅰ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|＞0）恒成立，试确定实数k的取值范围；（

已知函数f（x）=ex-kx，．（Ⅰ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|＞0）恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞n2ln（en+1+2）（n∈N*）

Answer 1

（Ⅰ）由f（|-x|）=f（|x|），可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f′（x）=e^x-k=0，得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f′（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．        
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x＞0，
∴lnF（x₁）+lnF（x₂）=ln[（ex1+e?x1）（ex2+e?x2）]，
又（ex1+e?x1）（ex2+e?x2）    
=ex1+x2+e?(x1+x2)+ex1?x2+e?x1+x2＞ex1+x2+e?(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，
∴lnF（1）+lnF（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
…
lnF（n）+lnF（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2）．
由此得：2[F（1）+F（2）+…+F（n）]
=[F（1）+F（n）]+[F（2）+F（n-1）]+…+[F（n）+F（1）]＞nln（eⁿ⁺¹+2），
故lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞

n

2

ln（eⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）成立．